Domínio de funções: o que é e como se resolve na prática
Domínio de uma função é simplesmente o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão da função faz sentido no conjunto dos reais. Nada mais, nada menos. A maior parte dos erros em provas e exercícios vem de gente que não aplica as restrições corretamente, não de quem não sabe a definição.
o que é dominio em função
Vamos direto ao ponto. Quando você tem uma função f(x), o domínio é o conjunto D = {x ℝ | f(x) está definida}. Ponto. O resto é só identificar onde as coisas não estão definidas e excluir esses valores. As regras básicas são poucas e você vai encontrá-las em qualquer livro do segundo ano do ensino médio. Mas deixar isso anotado em papel e seguir cegamente é o que causa problemas. Vou explicar melhor.
As restrições que você precisa memorizar (e quando ignorar)
Existem basicamente quatro situações em que uma função deixa de existir nos reais: Divisão por zero: qualquer denominador que contenha x não pode ser igual a zero. Exemplo óbvio: f(x) = 1/(x-3). O domínio exclui x = 3. D = ℝ \ {3}.
Raiz par de número negativo: raízes quadradas, quartas, sextas... qualquer raíz com índice par só é válida se o radicando for maior ou igual a zero. f(x) = (x+2) exige x+2 0, então x -2. D = [-2, +[. Logaritmo de número não positivo: o logaritmando deve ser estritamente positivo e a base deve ser positiva e diferente de 1. f(x) = log(x-1) exige x-1 > 0, logo x > 1. D = ]1, +[.
Raiz fracionária com denominador par: se o expoente for da forma m/n com n par, vira raiz de índice par e a mesma regra do item anterior se aplica ao radicando. O que a maioria dos alunos não pega: você precisa aplicar todas as restrições simultaneamente, não apenas uma. Pegue uma função como f(x) = (x²-4) / (x-1). Aqui dois problemas existem ao mesmo tempo: o radicando precisa ser 0 (x²-4 0, ou seja, x -2 ou x 2) e o denominador não pode ser zero (x 1). Como x=1 já não está nas soluções do radicando, não precisa fazer nada extra. O domínio final é ]-, -2] ]-2, 1[ ]1, +[ interseco com ]-, -2] [2, +[, que resulta em ]-, -2] [2, +[. O x=1 era irrelevante porque já estava excluído pela raiz.
Um caso que dá problema e não aparece nos livros didáticos
Funções com variável tanto no radicando quanto no denominador ao mesmo tempo, com inequações que precisam ser resolvidas por análise de sinais. Eu vi isso em uma prova de ingresso num curso de engenharia e a média da turma foi 3,2 de 10. A função era f(x) = (6x-x²) / (x²-4). O erro mais comum foi resolver só a restrição da raiz e esquecer o denominador, ou resolver o denominador e achar que a raiz não impõe restrições adicionais. A solução correta exige:
1. Radicando 0: 6x - x² 0 x(6-x) 0 0 x 6 2. Denominador 0: x² - 4 0 x ±2
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3. Intersecção: [0, 6] \ {2} Note que x = -2 já estava fora do intervalo [0, 6], então só x = 2 precisa ser removido explicitamente. Domínio: [0, 2[ ]2, 6].
A lição prática aqui é: sempre resolva cada restrição separadamente, anote cada conjunto-solução, e só então faça a intersecção. Fazer tudo de cabeça funciona para exercícios de livro, mas quando os números ficam feios, você erra. Eu recomendo escrever os passos. Leva 30 segundos a mais e evita 90% dos erros.
Pegadinhas avançadas que caem em vestibulares e concursos
Funções definidas por partes: o domínio é a união dos domínios de cada trecho, respeitando os intervalos dados. Se a função diz "f(x) = x+1 para x
0 e f(x) = x² para x 0", o domínio é ℝ inteiro, porque os dois trechos cobrem tudo. Frações algébricas com radicais no denominador: f(x) = 1 / (x-3). Aqui a restrição é mais rigorosa porque a raiz quadrada não pode ser zero (senão divide por zero). Então x-3 > 0, estritamente. D = ]3, +[. Muitos alunos escrevem [3, +[ e perdem pontos.
Funções com múltiplas restrições aninhadas: f(x) = (log(x-1)). Aqui o logaritmo precisa ser 0, não apenas o argumento. log(x-1) 0 implica x-1 1, ou x 2. Além disso, o argumento do log precisa ser positivo (x > 1), mas isso já está satisfeito quando x 2. D = [2, +[. Arco seno e arco cosseno: f(x) = arcsen(2x-1). O domínio do arcsen é [-1, 1], então -1 2x-1 1. Resolvendo: 0 2x 2, logo 0 x 1. D = [0, 1]. O mesmo raciocínio vale para arccos, mas com a desigualdade invertida se o argumento for negativo.
Quando o domínio não é um intervalo simples
Nem toda função tem domínio contínuo. Funções racionais como f(x) = 1/(x²-1) têm domínio ℝ \ {-1, 1}. Funções com logaritmo de expressão periódica, como f(x) = log(sin x), têm domínio formado por infinitos intervalos abertos: {x ℝ | sin x > 0} = ]2k, (2k+1)[, k ℤ. Isso aparece com frequência em cursos de cálculo e ninguém explica bem nos primeiros semestres. Outro exemplo prático: f(x) = (x), onde x é a função piso (maior inteiro menor ou igual a x). O radicando precisa ser 0, então x 0, o que significa x 0. Mas como x é inteiro, a raiz só é real quando x é um quadrado perfeito: 0, 1, 4, 9, 16... O domínio seria [0,1[ [4,5[ [9,10[ ... — um conjunto discreto de intervalos. Isso raramente cai em provas, mas é útil para entender que domínio não precisa ser "bonito".
Resumo rápido para consultar antes de uma prova
Identifique se há divisão, raiz par, logaritmo ou função trigonométrica inversa. Anote cada restrição. Resolva cada inequação. Faça a intersecção. Verifique se algum ponto excluído já estava fora do conjunto-solução de outra restrição. Escreva o domínio em notação de intervalo. Se a função for composta por várias dessas operações, o domínio é a intersecção de todos os domínios individuais. Não é união. Intersecção. Isso é o erro mais frequente que eu vejo em correção de exercícios, e é fácil de conferir: teste um valor que está em apenas um dos conjuntos e veja se a função original dá erro.
